图谲外部基本 surfaces 的实现问题

我们研究三维球中图谲外部紧凑可定向基本 surfaces。基数 g、边界组件数 b 以及边界斜率 p/q 是基本 surfaces 的基本不变量。实现问题询问：对于给定的三元组 (g, b, q) 且满足 g ≥ 0、b ≥ 1、q ≥ 1，是否存在一个图谲 K ⊂ S³，其外部 E(K) 包含一个基数为 g、拥有 b 个边界组件且边界斜率为 p/q 的紧凑可定向基本 surfaces 吗？一般情况下，并非所有 (g, b, q) 的组合都可实现。首先，我们证明若 b 为奇数，则 q 必须等于 1。我们的主要定理表明，对于任意给定的偶数 b ≥ 2 和 q ≥ 1，必存在基数 g ≥ 0 和一个图谲 K，使得 E(K) 包含一个紧凑可定向基本 surfaces，满足这些参数。