线性规格不变 PDE 系统中自由度的计数

我们考察具有恒定系数的非必需为拉格朗日形式的偏微分方程 (PDE)。爱因斯坦提出了一种定义此类场论「强度」的概念，用以定义其自由度 (DoF)。爱因斯坦式强度基于一般解中有界阶数 Taylor 系列系数的渐近数目。这种方式下的 DoF 直接计数是一个复杂且技术性强的过程。基于爱因斯坦式强度，并运用交换代数工具，我们推导出另一种以场方程的阶数、规范对称性和规范恒等式为基础的 DoF 计数配方。该计数配方涵盖可约规范场理论的情况，且使用便捷。我们首先将系统矩阵解释为多项式模之间的线性映射。首先，基于爱因斯坦定义，我们推导出 DoF 作为特定延伸模的一个乘数的显式公式。其次，我们证明另一基于方程阶数和规范生成器阶数的显式 DoF 公式。该公式的一个显著推论是：两个厄米共轭系统具有相同的 DoF。每个经典场论都定义了一个自然称为鬼数 (ghost number) 的grading 的 BRST 复形。我们为该复形引入另一种 grading，称为微分阶数。该grading 对于每一个时空导数为1，而所有场、鬼和反场根据其鬼数以及方程和规范生成器的阶数被赋予该度数。我们计算该BRST复形依据新grading的Euler特征。这为线性规范系统的DoF提供了同调解释，其表述为BRST复形对数导数Euler特征在无穷处的残差。