紧李群值上循环的阶、混合与绝对连续谱

我们考虑斜积 $$T_\phi:X\times G\to X\times G,~~(x,g)\mapsto(F_1(x),g\;\!\phi(x)),$$ 其中 $X$ 是带概率测度的紧流形，$G$ 是具有李代数 $\frak g$ 的紧李群，$F_1:X\to X$ 是保测流的单步映射，$\phi\in C^1(X,G)$ 是一个上循环。接着，我们将 $\phi$ 的阶定义为一个合适的函数 $P_\phi M_\phi:X\to\frak g$，并证明它在李群同态和 $C^1$-上同调关系下以自然方式变换，且解释它如何推广了先前上循环阶的定义。对于 $G$ 的每个有限维不可约表示 $\pi$ 以及 $\pi(G)$ 的李代数 $\frak g_\pi$，我们以类似方式将 $\pi\circ\phi$ 的阶定义为合适的函数 $P_{\pi\circ\phi}M_{\pi\circ\phi}:X\to\frak g_\pi$。若 $F_1$ 是唯一遍历的且函数 $\pi\circ\phi$ 为对角形式，或者若 $T_\phi$ 是唯一遍历的，则 $\phi$ 的阶退化为由 $X$ 上积分给出的 $\frak g$ 中的常数。作为一个副产品，我们得到：若 $G$ 是连通半单紧李群，则不存在具有非零阶的唯一遍历斜积 $T_\phi$。接下来，我们证明 $T_\phi$ 在 $P_{\pi\circ\phi}M_{\pi\circ\phi}$ 核的正交补中是混合的，并在一些附加假设下证明若 $(iP_{\pi\circ\phi}M_{\pi\circ\phi})^2$ 严格正，则 $U_\phi$ 在该正交补中具有纯绝对连续谱。对每个 $\pi$ 汇总这些结果，可得到关于 $T_\phi$ 的混合与绝对连续谱的一个整体结果。作为应用，我们给出四个具体情形：$G$ 为环面、$G=SU(2)$、$G=SO(3,\mathbb R)$ 以及 $G=U(2)$。在每种情形下，我们得到的结果都是新的，或推广了先前结果。我们的证明依赖于关于酉算子正交换子方法的新结果。