具有适应度的递归树中的度分布

我们研究了一种通用的递归树模型，其中顶点被赋予独立的权重，并且在每个时间步，以正比于其适应度函数（其权重和度的函数）的概率抽取一个顶点，并将其连接到 $\ell$ 个新到达的顶点。在某种技术假设下，应用 Crump-Mode-Jagers 分支过程理论，我们推导出了具有给定度和权重的顶点比例以及端点具有特定权重的边比例的几乎必然极限分布公式。作为该定理的应用，我们严格证明了 Bianconi 关于演化 Cayley 树的观察结果 [$\mathit{Phys. \, Rev. \, E} \; \mathbf{66}, \text{ 036116 (2002)}$]。我们还深入研究了当适应度函数为仿射这一特定情况时技术条件可能失效的过程，我们将该模型称为“具有适应度的广义优先连接”。我们证明了该模型可以表现出凝聚现象，即一定比例的边聚集在具有最大权重的顶点周围；或者更极端地，具有退化的极限度分布，即全部比例的边都聚集在这些顶点周围。最后，在与该过程相关联的配分函数具有强大数定律的不同假设下，我们证明了度分布的随机收敛性。