退化共形类序列与共形 Steklov 谱

设 $\Sigma$ 为带边界的紧曲面。对 $\Sigma$ 上给定共形类 $c$，泛函 $\sigma_k^*(\Sigma,c)$ 定义为 $c$ 上所有度量的第 $k$ 个归一化 Steklov 特征值的上确界。我们考察该泛函在 $\Sigma$ 上共形类模空间中的行为。得到了当序列 $\{c_n\}$ 退化时 $\sigma_k^*(\Sigma,c_n)$ 极限的精确公式。我们将此公式应用于研究闭流形的 Friedlander-Nadirashvili 不变量的自然类比，其定义为 $\inf_{c}\sigma_k^*(\Sigma,c)$，其中下确界取遍 $\Sigma$ 上所有共形类 $c$。我们证明对任意带边界曲面这些量均等于 $2\pi k$。作为我们方法的应用，我们得到了不可定向曲面第 $k$ 个归一化 Steklov 特征值依其亏格与边界分支数的新估计。