闭黎曼曲面到 $\R^n$ 的 $W^{2,2}$-共形浸入

我们研究具有固定亏格和 Willmore 能量 ${\cal W}(f) \leq \Lambda$ 的共形浸入紧黎曼曲面序列 $f_k:\Sigma_k \to \R^n$。假设 $\Sigma_k$ 在模空间中收敛到 $\Sigma$，即对于微分同胚 $\phi_k$，作为复结构有 $\phi_k^\ast(\Sigma_k) \to \Sigma$。然后我们构造一个分支共形浸入 $f:\Sigma \to \R^n$ 和 Möbius 变换 $\sigma_k$，使得对于子序列，$\sigma_k \circ f_k \circ \phi_k$ 在除有限个点外的 $W^{2,2}_{loc}$ 意义下弱收敛到 $f$。当 $\Lambda < 8\pi$ 时，映射 $f$ 是无分支的。如果 $\Sigma_k$ 在模空间中发散，那么我们证明 $\liminf_{k \to \infty} {\cal W}(f_k) \geq \min(8\pi,\omega^n_p)$。我们的工作将文献 [K-S3] 中的结果推广到了任意余维数。