在分数法向曲率量有界条件下的共形浸入极限

我们考虑从球$B \subset \mathbb{R}^2$到$\mathbb{R}^3$的弱收敛$W^{1,2}$-映射$\Phi_k$的极限，这些映射是共形浸入。在法向曲率项较小的假设下，即若对法向映射$u$存在某个$s \in (\frac{1}{2},1)$满足 $$\int_{B} \int_{B} \left | \frac{u_k(x) \wedge u_k(y)}{|x-y|^{s}} \right|^{\frac{2}{s}}\, \frac{dx\, dy}{|x-y|^{2}} < \varepsilon$$ 则我们证明要么可取极限得到几乎处处浸入$\Phi$，要么$\Phi$坍缩并为常数。这与T. Toro、S. M\"uller和V. Sverak以及F. H\'elein的结果精神一致，他们在第二基本形式有界的更强假设下（但也得到更强结果：局部双利普希茨参数化）获得了类似结论。该分数法向曲率假设隐约让人联想到曲率能量，例如Strzelecki、von der Mosel等人所考虑的曲面的切点能量的标度不变极限，我们希望本工作的分析最终可用于定义具有此类能量界的弱浸入。