$W_3$ 代数在$c=2$ 时的退化共形块与三重二聚体模型中的连接概率

我们研究了一个由$d$个变量组成的$d+8$个线性偏微分方程（PDE）的齐次系统，该系统源于具有$W_3$对称代数的二维共形场论（CFT）。在 CFT 背景下，$d$个 PDE 是三阶的，对应于零态方程，而其余 8 个 PDE（五个为二阶，三个为一阶）对应于$W_3$全局 Ward 恒等式。在中心荷$c=2$的情况下，我们构造了所有解空间的一个子空间，其增长速度不超过幂律。我们将此子空间称为$W_3$共形块空间，并提供了一组基，该基用与三列列严格矩形 Young 表相关的 Specht 多项式表示。该空间的维数是一个 Kostka 数，与 CFT 预测一致，因此我们猜想它穷尽了所有具有幂律界的解空间。此外，我们证明了$W_3$共形块空间是由$\mathfrak{sl}_3$ webs 定义的某种图代数（我们称之为 Kuperberg 代数）的不可约表示。最后，我们证明了一个公式，将我们构造的$c=2$时的$W_3$共形块与 Kenyon 和 Shi 关于三重二聚体模型中连接概率的标度极限联系起来。对于更一般的中心荷，我们预期$W_3$共形块与基于$\mathfrak{sl}_3$ webs 的晶格模型中概率的标度极限相关。