零态偏微分方程组的解空间 3

本文是四篇系列文章的第三篇，完全刻画了一个解空间 $\mathcal{S}_N$，该空间对应于共形场论 (CFT) 和多重 Schramm-Loewner 演化 (SLE) 中出现的 $2N$ 个变量中的 $2N+3$ 个线性偏微分方程 (PDE) 的齐次系统。该系统包含 $2N$ 个零态方程和三个控制 $2N$ 个单腿边界算子的 CFT 关联函数的共形 Ward 恒等式。在前两篇文章（第一部分和第二部分）中，我们利用分析和线性代数方法证明了 $\dim\mathcal{S}_N\leq C_N$，其中 $C_N$ 是第 $N$ 个 Catalan 数。扩展这些结果，我们在本文中证明了 $\dim\mathcal{S}_N=C_N$，且 $\mathcal{S}_N$ 完全由使用 CFT Coulomb 气体（围道积分）形式构造的（实值）解组成。为了证明这一主张，我们证明了这样一组 $C_N$ 个解是线性无关的。由于这些解的公式很复杂，我们间接地证明了线性无关性。我们利用第一部分引理 15 中的线性单射映射，将所述集合的每个解发送到 $\mathbb{R}^{C_N}$ 中的一个向量，其分量被发现是 Temperley-Lieb 代数中元素的内积。我们将这些向量收集为一个对称的 $C_N \times C_N$ 矩阵的列，该矩阵具有 meander 矩阵的形式。如果该矩阵的行列式不为零，则这组 $C_N$ 个 Coulomb 气体解是线性无关的。如果该行列式为零，则我们构造另一组 $C_N$ 个 Coulomb 气体解，并遵循类似程序证明该组是线性无关的。后一种情况与 CFT 最小模型密切相关。