离散双Laplacian算子势函数在格子 $\mathbb{Z}$ 上的衰减估计

已知在格子 $\mathbb{Z}$ 上的离散拉普拉斯算子 $\Delta$ 满足以下尖锐时间衰减估计：$$\big\|e^{it\Delta}\big\|_{\ell^1\rightarrow\ell^{\infty}}\lesssim|t|^{-\frac{1}{3}},\quad t\neq0,$$ 其衰减速度慢于连续域上通常的 $O(|t|^{-\frac{1}{2}})$ 衰减。然而，本文表明，作用于 $\mathbb{Z}$ 上的离散双Laplacian $\Delta^2$ 实际上具有与其连续对应物相同的尖锐衰减估计 $|t|^{-\frac{1}{4}}$。在确定自由衰减估计后，我们进一步研究作用于格子空间 $\ell^2(\mathbb{Z})$ 上的离散双Schr"{o}dinger 算子 $H=\Delta^2+V$，其中 $V$ 为 $\mathbb{Z}$ 上的一类衰减势函数。首先，我们为 $H$ 建立了极限吸收原理，然后推导出其在阈值 $0$ 和 $16$ 附近的完整渐近展开，包括共振情形。特别是，我们提供了 $\ell^2$-加权空间中不同共振类型的完整表征。基于上述结果，我们在 $V$ 满足适当衰减条件下，建立了以下针对 $H$ 所有不同共振类型的尖锐 $\ell^1-\ell^{\infty}$ 衰减估计：$$\big\|e^{-itH}P_{ac}(H)\big\|_{\ell^1\rightarrow\ell^{\infty}}\lesssim|t|^{-\frac{1}{4}},\quad t\neq0,$$ 其中 $P_{ac}(H)$ 表示 $H$ 的绝对连续谱空间上的谱投影。此外，还推导出离散泊松方程演化流的衰减估计：$$\|{\cos}(t\sqrt H)P_{ac}(H)\|_{\ell^1\rightarrow\ell^{\infty}}+\Big\|\frac{{\sin}(t\sqrt H)}{t\sqrt H}P_{ac}(H)\Big\|_{\ell^1\rightarrow\ell^{\infty}}\lesssim|t|^{-\frac{1}{3}},\quad t\neq0.$$