解离势势离散多维 Schr"odinger算子中的球形输运

我们考虑离散 Schr"odinger 算子 $H = -\Delta + V$ 于 $\ell^2(\mathbb{Z}^d)$ 上的问题，其中 $d\in\mathbb{N}^*$ 为任意格点维数，$\Delta$ 为标准离散拉普拉斯算子，$V_n = o(|n|^{-1})$ 当 $|n| \to \infty$。我们证明了 $H$ 无奇异连续谱。对于单位演化 $e^{-i tH}$，我们证明其在意义上表现出球形输运，即对于任意 $r > 0$，加权 $\ell^2-$ 范数 $$\|e^{-i tH}u\|_r:=\left(\sum_{n\in\mathbb{Z}^d} (1+|n|^2)^{r} |(e^{-i tH}u)_n|^2\right)^\frac12$$ 随 $t\to \infty$ 以速率 $\simeq t^r$ 增长，前提是初始状态 $u$ 位于绝对连续子空间中且满足 $\|u\|_r<\infty$。该证明依赖于微分算子方法和 refined Mourre估计，这些估计为谱区间上纯绝对连续谱的算子提供了量化的下界。紧凑性论证和局部化谱投影用于将结果推广到扰动算子，将经典的自由拉普拉斯算子结果推广到更广泛的衰减势能类。