离散双Sch"{o}dinger算子在格子 $\mathbb{Z}$ 上的衰减估计

已知离散Laplace算子 $\Delta$ 在格子 $\mathbb{Z}$ 上满足如下尖锐时间衰减估计：$$\left\|e^{it\Delta}\right\|_{\ell^1\rightarrow\ell^{\infty}}\lesssim|t|^{-\frac{1}{3}},\quad t\neq0,$$ 其衰减速度比连续域 $\mathbb{R}$ 上的常规 $|t|^{-\frac{1}{2}}$ 衰减较慢。然而本文证明，格子 $\mathbb{Z}$ 上的离散双Laplacian $\Delta^2$ 实际上具有与其连续对应物相同尖锐衰减估计 $|t|^{-\frac{1}{4}}$。在这些自由衰减估计的基础上，本文进一步研究了形式为 $H=\Delta^2+V$ 的离散双Sch"{o}dinger算子作用于格子空间 $\ell^2(\mathbb{Z})$，其中 $V(n)$ 为 $\mathbb{Z}$ 的实值势。 在 $V$ 满足适当衰减条件且假设 $H$ 的 $0$ 与 $16$ 为谱的规则点的情况下，我们建立以下尖锐的 $\ell^1-\ell^{\infty}$ 扩散估计：$$\left\|e^{-itH}P_{ac}(H)\right\|_{\ell^1\rightarrow\ell^{\infty}}\lesssim|t|^{-\frac{1}{4}},\quad t\neq0,$$ 其中 $P_{ac}(H)$ 表示 $H$ 的绝对连续谱空间上的谱投影。此外，还推导出以下光束方程的衰减估计：$$\|{\rm cos}(t\sqrt H)P_{ac}(H)\|_{\ell^1\rightarrow\ell^{\infty}}+\left\|\frac{{\rm sin}(t\sqrt H)}{t\sqrt H}P_{ac}(H)\right\|_{\ell^1\rightarrow\ell^{\infty}}\lesssim|t|^{-\frac{1}{3}},\quad t\neq0.$$