基于最小二乘有限元方法的 Navier-Stokes 方程数据同化

我们从理论和数值上研究了使用最小二乘有限元方法（LSFEM）来处理稳态不可压缩 Navier-Stokes 方程的数据同化问题。我们的 LSFEM 离散基于应力-速度-压力（S-V-P）一阶格式，分别使用 Sobolev 空间 $H({\rm div}) \times H^1 \times L^2$ 的离散对应空间。系统的求解通过最小化表示方程残差大小的最小二乘泛函实现。将此求解器扩展到数据同化的一种简单直接的方法是在泛函中加入数据差异项。尽管大多数数据同化技术需要大量前向模拟评估因而非常昂贵，本工作提出的方法独特地具有与单次前向运行相同的代价。然而，问题在于：这一选择隐含了什么统计模型？我们在贝叶斯框架内回答了这个问题，建立了潜在背景协方差模型和似然。进一步我们证明——在线性情况下——该方法等价于卡尔曼滤波的应用，并推导了后验协方差。我们在后向台阶算例上实际展示了我们方法的能力。我们的 LSFEM 格式（无数据）即使在相对粗的网格上也显示出良好的近似质量——特别是在质量守恒和再附着位置方面。加入来自实验的有限速度测量，我们表明该方法能够纠正非常粗网格上的离散化误差，以及纠正未知和不确定的边界条件的影响。