Ornstein-Uhlenbeck过程的循环性分析

本文中，我们考虑满足线性随机微分方程$d\mathbf{x}(t) = - \mathbf{B}\mathbf{x}(t) dt + \boldsymbol{\Sigma} d \mathbf{w}(t)$的N维Ornstein-Uhlenbeck(O U)过程。其中，$\mathbf{B}$是一个固定的N乘N循环摩擦矩阵，其特征值具有正实部，$\boldsymbol{\Sigma}$是一个固定的N乘M矩阵。我们考虑由该OU过程支配的信号传播模型。在该模型中，潜在信号在由N个空间位置链接的传感器网络中传播。我们将OU过程的第n分量解释为来自第n个传感器所测量的传播效应。矩阵$\mathbf{B}$表示传感器网络结构：若$\mathbf{B}$的第一行为$(b_1 \ , \ \dots \ , \ b_N),$其中$b_1>0$且$b_2 \ , \ \dots , \ , b_N \le 0,$则$b_p$的大小量化了第n个传感器对第(n+p-1)个传感器活动的接受程度。最后，矩阵$\mathbf{D} = \frac{\boldsymbol{\Sigma} \boldsymbol{\Sigma}^\text{T}}{2}$的(m,n)项为注入到第m个和第n个传感器的分量噪声的协方差。对于不同的$\mathbf{B}$和$\boldsymbol{\Sigma}$的选择，我们研究循环性分析是否能够恢复网络结构。大致而言，循环性分析研究多变量信号的涨落动力学。我们特别考虑一个N乘N的反对称矩阵$\mathbf{Q},$称为领先矩阵，其中其(m,n)项的符号捕捉第m个和第n个OU过程之间的涨落关系。我们研究领先矩阵$\mathbf{Q}$的领先特征向量（即其模值最大特征值的特征向量）是否反映由$\mathbf{B}$诱导的网络结构。