随机停车函数诱导排列的分布

停车函数（parking function）通过n辆车在n个停车位出现的顺序在S_n中创建排列。将停车函数上的均匀概率度量诱导出S_n上的概率度量。我们开始研究这一分布的一些性质。设P_n^{\text{park}}表示该分布在S_n上的分布，P_n表示S_n上的均匀分布。在 particular, 我们获得P_n^{\text{park}}(\sigma)对于所有\sigma\in S_n的显式公式。随后我们证明对于除P_n-可忽略集合外的所有排列，都有P_n^{\text{park}}(\sigma)\in\left(\frac{(2-\epsilon)^n}{(n+1)^{n-1}},\frac{(2+\epsilon)^n}{(n+1)^{n-1}}\right)。然而，这仅涵盖P_n^{\text{park}}-概率的指数级小部分。我们还获得P_n^{\text{park}}(\sigma^{-1}_{n-j+1}=i_1,\sigma^{-1}_{n-j+2}=i_2,\cdots, \sigma^{-1}_n=i_j)的显式公式，即最后j辆车分别停在位置i_1,\cdots, i_j的概率，并证明在P_n^{\text{park}}下，(n+1-\sigma^{-1}_{n-j+l}, n+1-\sigma^{-1}_{n-j+2},\cdots, n+1-\sigma^{-1}_{n})作为j维随机向量随分布收敛于随机向量(\sum_{r=1}^jX_r,\sum_{r=2}^j X_r,\cdots, X_{j-1}+X_j,X_j)，其中{X_r}_{r=1}^j为独立同分布的博布尔分布随机变量。随后我们证明当j_n=o(n^{\frac16})时，最后j_n辆车以概率趋近于1的方式在递增顺序停放。我们还获得了左到右最大统计量X_n^{\text{LR-max}}的期望值的显式公式，表明E_n^{\text{park}}X_n^{\text{LR-max}}的增长大约在n^{\frac12}的数量级上。