关于由 Brown 运动和 Stable 过程驱动的复值 Ornstein-Uhlenbeck 过程的环绕数

我们研究参数为 $\lambda\in\mathbb{R}$ 的复值 Ornstein-Uhlenbeck (OU) 过程，该过程从非零点出发，并考察其绕原点的环绕方式。本文的出发点是 OU 过程的斜积表示，该表示与其驱动平面 Brown 运动在新确定性时间尺度下的斜积表示相关联。我们给出了径向过程和环绕过程的随机微分方程 (SDEs)。此外，我们获得了环绕过程和径向过程的大时间渐近（复平面上 Brown 运动的 Spitzer 定理的类比）和小时间渐近，并探讨了二维 OU 过程离开锥区域的退出时间。还提出了关于锥角（当我们的过程在锥内环绕时）和参数 $\lambda$ 的一些极限定理。进一步，我们讨论了复值 OU 过程环绕过程分解为“小”环绕和“大”环绕，其中对于“大”环绕，我们使用了 Bertoin 和 Werner 在\cite{BeW94} 中已获得的一些结果，并表明只有“小”环绕对大时间极限有贡献。最后，我们研究了由 Stable 过程驱动的复值 OU 过程的环绕，并为其（良定义的）环绕过程和径向过程获得了类似的结果。