竞赛图中的三圈与四圈

Linial 与 Morgenstern 猜想：在所有具有 $d\binom{n}{3}$ 个三圈（长度为三的圈）的 $n$ 顶点竞赛图中，四圈（长度为四的圈）的数量在渐近意义下由传递竞赛图的一个随机膨胀（除一个部分外其余部分大小相等、一个部分较小）所极小化。我们通过分析竞赛图的邻接矩阵的可能谱，证明了当 $d\ge 1/36$ 时的该猜想。我们还表明极值例子的族比预期更为宽泛，并给出了当 $d\ge 1/16$ 时其完整刻画。