竞赛图中的给定长度圈

我们研究竞赛图中给定长度有向圈的最大数量的渐近行为：令 $c(\ell)$ 为 $n$ 个顶点的竞赛图中长度为 $\ell$ 的圈的最大数量与随机 $n$ 顶点竞赛图中长度为 $\ell$ 的圈的期望数量之比在 $n$ 趋于无穷时的极限。众所周知 $c(3)=1$ 且 $c(4)=4/3$。我们证明 $c(\ell)=1$ 当且仅当 $\ell$ 不被四整除，这解决了 Bartley 与 Day 的一个猜想。若 $\ell$ 被四整除，我们证明 $1+2\cdot\left(2/\pi\right)^{\ell}\le c(\ell)\le 1+\left(2/\pi+o(1)\right)^{\ell}$，并精确确定了 $\ell = 8$ 时的值 $c(\ell)$。我们还对当 $\ell$ 不被四整除或 $\ell\in\{4,8\}$ 时具有最大长度为 $\ell$ 的圈数量的竞赛图的渐近结构给出了完整描述。