可量子化流形上矩映射的临界值

设 $M$ 为一个可量子化辛流形，其上作用有环面 $T=(S^1)^r$ 的哈密顿作用，$J$ 为该作用的矩映射。假设不动点集 $M^{T}$ 是离散的，并记 ${\alpha}_{pj}\in{\mathbb Z}^r$ 为 $p$ 点处各向同性表示的权。借助 $\alpha_{pj}$，我们定义了 $M^T$ 的一个划分 ${\mathcal Q}_+$ 和 ${\mathcal Q}_-$。（当 $r=1$ 时，${\mathcal Q}_{\pm}$ 将是那些 $J$ 在其处的莫尔斯指数的一半为偶数（奇数）的不动点集合）。我们证明了存在一个映射 $\pi_{\pm}:{\mathcal Q}_{\pm}\to{\mathcal Q}_{\mp}$，使得对于所有 $q\in {\mathcal Q}_{\pm}$，有 $J(q)-J(\pi_{\pm}(q))\in I_{\mp}$，其中 $I_{\pm}$ 是由 $p\in{\mathcal Q}_{\pm}$ 处的 $\alpha_{pj}$ 生成的格。我们定义了类似于 Kostant \cite{Gui} 的配分函数 $N_p$，并证明了对于任意 $|l|$ 充分大的 $l\in{\mathbb Z}^r$，成立 $\sum_{p\in{\mathcal Q}_+}N_p(l)=\sum_{p\in{\mathcal Q}_-}N_p(l)$。