渐近凹或 D-凹非自治微分方程的临界转变及其在生态学中的应用

在关于 $x$ 的凹性假设下，分析转移方程 $x'=f(t,x,\Gamma(t,x))$ 出现追踪或倾覆情形，该凹性要么来自生成渐近方程 $x'=f(t,x,\Gamma_\pm(t,x))$ 的映射，要么来自它们对状态变量的导数（d-凹性），但转移方程本身并不假定满足这些条件。逼近条件仅为 $\lim_{t\to\pm\infty}(\Gamma(t,x)-\Gamma_\pm(t,x))=0$ 在紧实数集上一致成立，因此对极限方程的时间依赖性无限制。该分析为分析单参数族 $x'=f(t,x,\Gamma^c_\pm(t,x))$ 中临界转变的发生提供了有力工具。这一新方法显著拓宽了结果的应用领域，因为转移方程的演化规律可本质上不同于极限方程。在这些应用中，一些承受非平凡捕食与迁移模式的标量种群动力学模型在理论与数值上均得到分析。证明中的若干关键点在于：将转移方程理解为其 hull 中逼近 $\alpha$-极限集与 $\omega$-极限集的一条轨道的一部分；观察到这些集合集中了所有遍历测度；并证明为描述方程的动力学可能性，只需 hull 中方程的完备测度子集满足凹性或 d-凹性条件。