凹-凸非自治标量常微分方程：从分岔理论到临界转变

针对具有单一状态变量的现象进行数学建模过程，若要力求真实，必须由标量非自治微分方程$x'=f(t,x)$给出，该方程在其定义域的某些区域关于状态变量$x$是凹的，而在互补区域是凸的。本文朝着发展描述相应动力学的理论迈出了第一步：考虑了$f$在区域$x\ge b(t)$上为凹、在$x\le b(t)$上为凸的情况，其中$b$是$C^1$映射。在描述$x'=f(t,x)+\lambda$的分岔图的同时，分析了可能出现的不同长期动力学。利用这些结果，建立了关于凹-凸映射$h$和非负映射$k$的条件，确保存在一个值$\rho_0$，该值导致参数族方程$x'=h(t,x)-\rho\,k(t,x)$出现唯一的临界转变，该方程族假设随着时间减小趋近于$x'=h(t,x)$，但对未来动力学不做任何假设。通过展示凹-凸模型正确拟合了一些实验室实验数据，并对一个种群动力学模型进行了应用描述（其中临时捕食高峰的足够大增加会导致灭绝），证明了所发展理论的合理性。