动力学几何中的临界轨迹

我们在动力学几何中构造临界轨迹，即 $\mathbb{R}^{1+2n}$ 中的曲线，它们：切于向量场 $\partial_t+v\cdot \nabla_x$ 和 $\nabla_v$，连接任意两个给定点，遵循底层的动力学标度，并且具有如下性质：起点附近 $v$-切向量的奇异性等同于曲线速度关于端点速度依赖关系的退化性。该构造基于 Newton 运动定律，其中动力学轨迹的强迫的拟设是函数的叠加，这些函数将正确的幂次标度与去同步的对数振荡相结合。这些临界轨迹提供了一个稳健且通用的“几乎指数映射”，使得能够证明若干泛函分析估计。我们引入了动力学磨化的概念，并作为应用，在不依赖基本解的情况下推导出了具有最优指数的动力学 Sobolev 不等式。此外，受 Moser (1961, 1964) 关于椭圆和抛物问题工作的启发，我们对具有粗糙系数的 Kolmogorov 方程的正上解的对数建立了一个普适估计。将此估计与 De Giorgi-Moser 迭代以及 Bombieri 和 Giusti 的引理相结合，遵循 Moser (1971) 的思想，我们给出了具有粗糙系数的 Kolmogorov 方程的（弱）Harnack 不等式的另一种证明。我们的结果给出了弱 Harnack 不等式中指数的最优范围，以及 Harnack 常数对扩散矩阵界值的最优（几何）依赖关系。