向量能量的临界测度：二次微分轨迹的全局结构

平面上具有向量多项式外场的向量对数能量的鞍点构成了向量临界测度，这一概念在分析学的多个分支中有着自然的动机。我们深入研究了测度 $\vec \mu=(\mu_1, \mu_2,\mu_3)$ 在相互作用同时包含吸引与排斥力时的情况。对于任意向量多项式外场，我们建立了关于临界测度的一般结构结果，例如用其柯西变换的适当组合所满足的代数方程来刻画它们，以及此类测度所展现的对称性（或 S-性质）。由此我们得出结论：向量临界测度支撑于有限条解析弧上，这些弧是全局定义于三叶黎曼面上的二次微分的轨迹。对此类微分所谓的临界图的完整描述，是构造临界测度的关键。我们通过在三次外场作用下的一族临界测度的深入研究中说明了这些联系。这一选择受到一族（非厄米）多重正交多项式的渐近分析的启发，该内容将是后续论文的主题。这里我们显式计算了黎曼面及相应的二次微分，并分析了其临界图随参数的动力学行为，给出了所发生的相变的详细描述。当投影回复平面时，这一构造给出了完整的向量临界测度族，在此背景下它们实为向量平衡测度。