向量能量的临界测度：三次权下非对角多重正交多项式的渐近性

我们考虑 I 型多重正交多项式（MOPs）$(A_{n,m}, B_{n,m})$ 与 II 型 MOPs $P_{n,m}$，其在 $\mathbb C$ 上两条无界轮廓线关于权 $e^{-z^3}$ 满足非厄米正交性。在假设 $$n,m \to \infty, \quad \frac{n}{n+m}\to \alpha \in (0, 1)$$ 下，我们求得 MOPs 的详细渐近性，并描述该极限行为作为 $\alpha$ 函数的相变。该描述由向量临界测度给出，它们是包含吸引与排斥力的能量泛函的鞍点。这些临界测度由三次方程（谱曲线）刻画，其分量 $\mu_j$ 生活于该方程黎曼面上典范二次微分 $\varpi$ 的轨线上，此乃我们前文 [Adv. Math. 302 (2016), 1137--1232] 的研究对象。多项式 $A_{n,m}$ 与 $P_{n,m}$ 的渐近零点分布由向量临界测度的适当组合给出。然而，$B_{n,m}$ 零点之行为全然不同，可用 $\mu_2 - \mu_3$ 到平面上某些曲线的平流（balayage）描述。这些曲线借助 $\varpi$ 构造，其拓扑依 $\alpha$ 取值具三种截然不同特征，并由 $\varpi$ 的临界图获得。在轨线与向量临界测度研究完毕后，主要渐近技术工具是刻画 MOPs 的 $3\times 3$ Riemann-Hilbert 问题分析。我们以若干数值实验结果为据阐释发现，并基于这些实验提出若干猜想与经验观察。