渗流概率元胞自动机的临界概率与收敛时间

本文研究了一类经历具有吸收态相变的概率元胞自动机。记 ${\mathcal{U}}(x)$ 为格点 $x$ 的邻域，若 $\eta_{{\mathcal{U}}(x)}= \mathbf{0}$ 则转移概率为 $T(\eta_x = 1 | \eta_{{\mathcal{U}}(x)}) = 0$，否则为 $p$，其中 $\forall x \in \mathbb{Z}$。对于任意 $\mathcal{U}$，存在一个非平凡临界概率 $p_c({\mathcal{U}})$，它将具有吸收态的相与涨落相分开。本文研究了邻域如何影响 $p_c({\mathcal{U}})$ 的值，并提供了 $p_c({\mathcal{U}})$ 的下界。此外，通过利用动态重归一化技术，我们证明了在有限空间且具有周期性边界条件下，若 $p > p_c$（ resp. $p<p_c$），过程的期望收敛时间随系统尺寸呈指数（resp. 对数）增长。这部分回答了 Toom 等人 (1990, 1994) 提出的一个开放问题。