三维液晶 Onsager 模型的临界点与分岔
偏微分方程分析
2015-09-09 v1
摘要
我们研究了三维球面上具有取向参数的液晶的 Onsager 自由能泛函的分岔图。特别地，我们聚焦于包含 Onsager 核的一类非常通用的两体相互作用势。该问题被重新表述为核算子的非线性特征值问题，并给出了求解相应特征值和特征函数的通用方法。我们分析的主要工具是球谐函数以及一种用于计算球谐函数乘积按球谐函数展开的特殊算法。我们找到了所有分岔点集合的显式表达式。利用 Lyapunov-Schmidt 约化，我们推导了依赖于五个状态变量的分岔方程。借助问题的旋转对称性和不变多项式理论，该状态空间的维数被进一步降至二维。基于这些结果，我们证明了在 Onsager 相互作用势情况下发生的首次分岔是跨临界分岔，且相应解是单轴的。此外，我们证明了分岔图的一些全局性质，例如平凡解在高温时是唯一的局部极小化子，在低温时不是局部极小化子，泛函所有平衡点的有界性，以及分岔支要么无界要么与另一分岔支相交。
引用
@article{arxiv.1509.02469,
title = {Critical points and bifurcations of the three-dimensional Onsager model for liquid crystals},
author = {Michaela Andrea Christine Vollmer},
journal= {arXiv preprint arXiv:1509.02469},
year = {2015}
}