Fortuin--Kasteleyn 加权平面地图上的临界指数

本文考虑了由参数 $q \in (0,4)$ 的自对偶 Fortuin--Kasteleyn 模型加权的随机平面地图。利用 Sheffield 提出的双射以及与锥中平面布朗运动的联系，我们严格得到了与簇界面长度相关的临界指数值，该值被证明为 $$\frac{4}{\pi} \arccos \left( \frac{\sqrt{2 - \sqrt{q}}}{2} \right)=\frac{\kappa'}{8}.$$ 其中 $\kappa'$ 是与该模型相关的 SLE 参数。我们还推导出了与回路所围面积相对应的指数，并证明对于所有 $q \in (0,4)$ 的值，该指数均为 1。应用 KPZ 公式，我们发现该值与 SLE 曲线的维数及 SLE 对偶性是一致的。