${\cal O}(n)$ 系统中具有长程相互作用的临界 Casimir 力（以球面极限为例）

我们在 $d$ 维球面模型框架内给出 ${\cal O}(n)$ 系统中热力学 Casimir 力和剩余自由能的精确结果。该模型具有在大尺寸距离 $r$ 衰减为 $r^{-d-\sigma}$ 的幂律长程相互作用，其中 $\sigma<d<2\sigma$ 且 $0<\sigma\leq2$。对于薄膜几何和周期边界条件，我们考虑这些量在bulk 临界温度 $T_c$ 附近的行为，以及 $T>T_c$ 和 $T<T_c$ 时的行为。推导了支配临界区域力行为的普适有限尺寸缩放函数并研究其渐近行为。在临界及临界下区域，力的大小为 $L^{-d}$，而 $T>T_c$ 时其衰减为 $L^{-d-\sigma}$，其中 $L$ 为薄膜厚度。我们分别考虑了有限系统（无自身相变）且 $d-1<\sigma$ 的情况，以及 $d-1>\sigma$ 时发生从 $d$ 维临界行为向 $d-1$ 维临界行为的维数迁移的情况。沿相共存线的力行为（磁场 $H=0$ 且 $T<T_c$）也被推导。我们证明了剩余自由能始终为负且 $T$ 与 $H$ 的单调递增函数。对于 Casimir 力，我们证明了对于任何 $\sigma \ge 1$，其始终为负，即表明边界缘的表面之间存在吸引力。在 $T=T_c$ 时，力随 $T$ 增加为增函数（$\sigma>1$），或为减函数（$\sigma<1$）。对于任意 $d$ 与 $\sigma$，力在 $T=T_c$ 时的最小值始终在 $H\ne 0$ 处达到。