基于划分的群幂零性判据

设 $G$ 为有限群且 $S< G$。群 $G$ 的覆盖是 $G$ 的一系列子群，其并集为 $G$。我们用术语 $n$-覆盖 表示具有 $n$ 个成员的覆盖。若 $H_i\cap H_j= S$（$i\neq j$），则称覆盖 $\Pi =\{H_1, H_2, \dots, H_n\}$ 为 $G$ 的严格 $\mathit{S}$-划分；若 $\Pi$ 为严格 $S$-划分且对所有 $i\neq j$ 均有 $|H_i|=|H_j|$，则称 $\Pi$ 为 $G$ 的等度严格 $\mathit{S}$-划分（或 $ES$-划分）。若 $S$ 为单位元子群且 $G$ 具有严格 $S$-划分（等度严格 $\mathit{S}$-划分），则我们称 $G$ 具有划分（分别为等度划分）。