半群同态映射与射影秩函数的存在性准则

设$P、S、T$为半群，$f:P\to S$和$g:P\to T$为半群同态映射，$X$为生成集$S$（可为无限）。显然，若存在使$f、g$构成交换三角形的半群同态映射$S\to T$，则必须满足：对于在$S$中成立的每个关系$f(p) = w(x_1，\dots，x_n)$（其中$p\in P，w$为半群词，$x_1，\dots，x_n \in X$），存在$t_1，\dots，t_n\in T$满足$g(p) = w(t_1，\dots，t_n)$。在何种假设下这也是充分条件？我们证明，一组假设包括：(i) $S$中每个元素都是$f(P)$中某个元素的约数，(ii) $T$为双侧可消去，(iii) $T$为幂可消去，即$x^d = y^d \implies x = y$（$d > 0$），以及(iv) 某一技术性条件，特别是当$T$ admits a semigroup ordering with the order-type of the natural numbers时该条件成立。作为应用，我们获得了在 finitely generated projective 模块上整数值秩函数存在性的初等准则。