计数 $\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$ 中的热带曲线：计算与多项式性质

Mikhalkin 指出，可用热带方法确定 $\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$ 中与环面边界有固定接触阶并满足点条件的曲线计数。若要求曲线仅以接触阶 $1$ 与零截面和无穷截面相交，但允许零纤维和无穷纤维有任意接触阶，则相应数目展现出优美的结构性质，如分段多项式性，类似于 Ardila 与 Brugallé 所研究的双 Hurwitz 数（计数 $\mathbb{P}^1$ 上在零和无穷处有特殊分歧构型的覆盖）的情形。该结果使用地板图方法计数热带曲线得到。此处，我们拓展热带工具以确定 $\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$ 中曲线计数。我们提供了一种计算工具（基于 Gawrilow 和 Joswig 的 Polymake），通过对 Mikhalkin 格点路径算法的直接推广，可确定任意亏格与任意接触阶下的此类热带曲线数目。该工具亦可用于其他环面曲面。为便于手工高效计算，我们引入了一种新计数工具（针对与无穷截面横截接触的有理曲线情形），可视为地板图与格点路径方法的结合：子地板图。我们利用该计算工具与子地板图进行实验，揭示了这些计数的结构性质。我们得到了关于 $\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$ 中零纤维和无穷纤维具任意接触阶、零截面和无穷截面接触阶受限的有理曲线计数的（分段）多项式结构的初步结果。