环面曲面上的椭圆曲线的计数几何

我们建立了具有固定 $j$-不变量的环面曲面上椭圆曲线的经典曲线计数与热带曲线计数之间的等式，改进了 Mikhalkin 以及 Nishinou--Siebert 的结果。作为应用，我们确定了 $\mathbb P^2$ 和所有 Hirzebruch 曲面上此类计数的公式。该公式将椭圆曲线的计数与曲面上满足与环面边界少量切条件的有理曲线的数量联系起来。此外，利用 Berkovich 几何和对数 Gromov--Witten 理论，从代数几何角度推导并解释了 Kerber 和 Markwig 关于 $\mathbb P^2$ 中计数的组合热带重数。由此，获得了 Pandharipande 关于 $\mathbb P^2$ 中具有固定 $j$-不变量的椭圆曲线计数的公式的新证明。