计数具有少量网状顶点的系统发育网络：第二种方法

树-子网络是系统发育学中重要的网络类之一，其提出旨在对网状进化进行建模。最近，第一作者与 Gittenberger 和 Mansouri（2019）证明，具有 $\ell$ 个叶和 $k$ 个网状顶点的树-子网络的数量 ${\rm TC}_{\ell,k}$ 具有一阶渐近式 $${\rm TC}_{\ell,k}\sim c_k\left(\frac{2}{e}\right)^{\ell}\ell^{\ell+2k-1},\qquad (\ell\rightarrow\infty).$$ 此外，他们还计算了 $k=1,2,$ 和 $3$ 时的 $c_k$。在本短文中，我们给出上述结果的第二种方法，该方法基于 Cardona 和 Zhang（2020）近期提出的用于计数树-子网络的（算法）方法。这第二种方法还能够给出 $c_k$ 的一个简单闭式表达式，即对所有 $k\geq 0$，有 $c_k=2^{k-1}\sqrt{2}/k!$。