$d$-合并树-子网络的计数与分布结果

树-子网络是用于建模包含网状事件的进化过程的最 prominent 网络类之一。若干近期研究探讨了双合并树-子网络的计数问题，其中每个网状节点恰有两个父节点。我们将这些研究推广到 $d$-合并树-子网络，其中每个网状节点有 $d\geq 2$ 个父节点，并研究单组分以及一般的树-子网络。对于单组分网络的数量，我们推导出一个精确公式，由此得到渐近结果，其中包含 $d=2$ 时的拉伸指数，但 $d \geq 3$ 时则没有。对于一般网络，我们发现了一种由字构成的新型编码，由此得到其数量的递推关系。由该递推关系，我们导出渐近结果，显示对所有 $d \geq 2$ 均出现拉伸指数。此外，我们还给出了从具有相同叶数的所有树-子网络集合中均匀随机抽取一个网络时其形状参数（如网状节点数、Sackin 指数）的分布结果。我们展示了依赖于 $d$ 的相变，导致正态、Bessel、Poisson 和退化分布。我们的某些结果即使在双合并情形中也是新的。