计数 Lyndon 因子

在本文中，我们确定了长度为 $n$ 的字所能包含的不同 Lyndon 因子的最大数量。我们还推导了在大小为 $\sigma$ 的字母表上长度为 $n$ 的字中 Lyndon 因子的期望总数以及该字中不同 Lyndon 因子的期望数量的公式。长度为 $n$ 的字中不同 Lyndon 因子的最小数量为 $1$，最小总数量为 $n$，这两个下界均由 $x^n$（其中 $x$ 是一个字母）取得。一个更有趣的问题是：长度为 $n$ 的 Lyndon 字中不同 Lyndon 因子的最小数量是多少？在这个方向上，已知（Saari, 2014）长度为 $n$ 的 Lyndon 字中不同 Lyndon 因子数量的最优下界为 $\lceil\log_{\phi}(n) + 1\rceil$，其中 $\phi$ 表示黄金比例 $(1 + \sqrt{5})/2$。此外，该下界由所谓的有限“Fibonacci Lyndon 字”达到，它们恰好是著名的“无限 Fibonacci 字”——“无限 Sturmian 字”的一个特例——的 Lyndon 因子。Saari (2014) 猜想，如果 $w$ 是长度为 $n$（$n\ne 6$）的 Lyndon 字，且在所有相同长度的 Lyndon 字中包含最少的不同 Lyndon 因子，那么 $w$ 是一个 Christoffel 字（即无限 Sturmian 字的 Lyndon 因子）。我们给出了该猜想的一个反例。此外，我们通过确定给定 Christoffel 字中不同 Lyndon 因子的数量，推广了 Saari 关于 Fibonacci Lyndon 字中不同 Lyndon 因子数量的结果。我们以两个开放问题作为结尾。