树乘积中的格的计数

度为 $(m,n)$ 的 BMW 群是在度分别为 $m$ 和 $n$ 的两棵正则树的乘积的顶点上单传递作用的群。我们证明度为 $(m,n)$ 的 BMW 群的共度量类的数量被界定于 $(mn)^{\alpha mn}$ 与 $(mn)^{\beta mn}$ 之间，其中某个 $0<\alpha<\beta$。事实上，我们证明相同的界对虚单 BMW 群也成立。我们引入了度为 $(m,n)$ 的 BMW 群的随机模型，并证明该模型中的随机 BMW 群在渐近意义下几乎必然是不可约且遗传恰无限的。