关于单模李代数 Zassenhaus 猜想的反例

我们给出 Zassenhaus 关于单模李代数的外导代数可解性猜想的一个无限族反例。事实上，我们证明特征 $p=3$ 下维数为 $3^{n+1}-2$ 的单模李代数 $H(2;(1,n))^{(2)}$ 对所有 $n\ge 1$ 均不具有可解外导代数。对 $n=1$ 这恢复了已知的 $\mathfrak{psl}_3(F)$ 反例。我们证明 $H(2;(1,n))^{(2)}$ 的外导代数同构于 $(\mathfrak{sl}_2(F)\ltimes V(2))\oplus F^{n-1}$，其中 $V(2)$ 是 $\mathfrak{sl}_2(F)$ 的自然表示。我们也研究了特征三下其他已知单李代数，但它们未给出新反例。