简单模 Lie 代数上的 Zassenhaus 猜想与 CPA-结构

Lie 代数上的交换后 Lie 代数结构（简称 CPA 结构）已在特征零域上被研究，特别是受几何启发的实数与复数情形。特征零的完备 Lie 代数仅容许平凡的 CPA 结构。本文中我们在特征 $p>0$ 的域上研究这些结构。我们证明特征 $p>2$ 下具有可解外导子代数的每一完备模 Lie 代数仅容许平凡的 CPA 结构。这涉及 Hans Zassenhaus 的一个猜想，即简单模 Lie 代数 $\mathfrak{g}$ 的外导子代数 ${\rm Out}(\mathfrak{g})$ 是可解的。我们试图总结关于 Zassenhaus 猜想的已知结果，并利用 Premet 与 Strade 对特征 $p>3$ 代数闭域上简单模 Lie 代数的分类证明若干新结果。作为推论，我们得到特征 $p>3$ 的每一中心简单模 Lie 代数仅容许平凡的 CPA 结构。