若干图族的协作染色

在共享同一顶点集 $V$ 的图族 ${G_1, G_2, \ldots, G_m}$ 中，协作染色是指对每个 $i\in \{1,2,\ldots,m\}$ 从 $G_i$ 中选出一个独立集 $I_i$，使得 $\bigcup_{i=1}^m I_i = V$。对于图类 $\mathcal{G}$，令 $m_{\mathcal{G}}(d)$ 表示确保任意在同一顶点集上、满足 $G_i\in\mathcal{G}$ 且对每个 $i\in \{1,2,\ldots,m\}$ 有 $\Delta(G_i)\leq d$ 的图族 ${G_1, G_2, \ldots, G_m}$ 均存在协作染色所需的最小 $m$。对于图类 $\mathcal{T}$（树）和 $\mathcal{W}$（轮图），我们发现 $m_\mathcal{T}(3)=4$ 且 $m_\mathcal{W}(4)=5$。此外，我们证明了 $m_{\mathcal{B}^*}(d)=O(\log_2 d)$ 和 $m_{\mathcal{L}}(d)=O\left(\frac{\log d}{\log\log d}\right)$，其中 $\mathcal{B}^*$ 表示其连通分支为平衡完全二部图的图类，$\mathcal{L}$ 表示其连通分支为广义 $\theta$ 图的图类。