卷积、umul moments 与形式幂级数环中的无限生成器

我们将有限自由卷积和有限自由umul moments 的概念推广到形式幂级数的框架中，引入其自然的类比，即 $t$ 型卷积和 $t$ 型umul moments。在此框架中，我们建立了 $t$ 型类比的大数律和中心极限定理，揭示了与经典、自由和有限自由概率论之间的结构相似性。我们表明，$t=-1$ 的情况在矩生成函数层面恢复了经典卷积，从而将理论直接关联到经典概率。我们进一步研究了与 $\boxplus^t$-连续半群相关的无限生成器，推导了显式的表示公式，阐明了这些生成器如何描述半群的微分演化。在 $t=d$ 的情况下，我们的结果给出了有限自由无限生成器的显式公式。在 $t=-1$ 的情况下，我们将这些生成器与一维 Lévy 过程的生成器关联起来，通过确定其表示中的相应项来实现。这一结果在 $\boxplus^t$-卷积半群与经典 Lévy-Khintchine 类型生成器之间建立了直接联系。