矩阵值域的凸性与星形的性质

设 ${\bf A} = (A_1, \dots, A_m)$ 为作用在Hilbert空间 ${\cal H}$ 上的有界线性算子的 $m$-元组。其联合 $(p,q)$-矩阵值域 $\Lambda_{p,q}({\bf A})$ 是 $(B_1, \dots, B_m) \in {\bf M}_q^m$ 的集合，其中 $I_p\otimes B_j$ 是 $A_j$ 在某个 $pq$ 维子空间上的压缩。该定义涵盖了针对不同 $p,q,m$ 值的各类广义数值域。本文证明了当 $\cal H$ 的维数足够大时 $\Lambda_{p,q}({\bf A})$ 是星形的。若 $\dim {\cal H}$ 为无穷，我们将 $\Lambda_{p,q}({\bf A})$ 的定义扩展为 $\Lambda_{\infty,q}({\bf A})$，其由满足 $I_\infty \otimes B_j$ 是 $A_j$ 在 ${\cal H}$ 的某个闭子空间上的压缩的 $(B_1, \dots, B_m) \in {\bf M}_q^m$ 组成，并考虑联合本质 $(p,q)$-矩阵值域 $$\Lambda^{ess}_{p,q}({\bf A}) = \bigcap \{ {\bf cl}(\Lambda_{p,q}(A_1+F_1, \dots, A_m+F_m)): F_1, \dots, F_m \hbox{ 为紧算子}\}.$$ 两个集合均被证明是凸的，且后者恒为非空紧集。