当 $p>q$ 时交换子的 $L^p$ 到 $L^q$ 紧性

设 $1<q<p<\infty$、$\frac1r:=\frac1q-\frac1p$，且 $T$ 为非退化 Calderón--Zygmund 算子。我们证明交换子 $[b,T]$ 从 $L^p({\mathbb R}^n)$ 到 $L^q({\mathbb R}^n)$ 紧当且仅当符号 $b=a+c$，其中 $a\in L^r({\mathbb R}^n)$ 且 $c$ 为任意常数。由于相应的 Hardy--Littlewood 极大算子与相应的 Calderón--Zygmund 极大算子均不从 $L^p({\mathbb R}^n)$ 到 $L^q({\mathbb R}^n)$ 有界，我们充分利用了 $C_{\rm c}^\infty({\mathbb R}^n)$ 中逼近元的紧支撑——这在 $p\leq q$ 时对于许多相应估计看似冗余，但在 $p>q$ 时却至关重要。我们也将结果推广到了多线性情形。