具有退化极小值的 Gibbs 测度的收敛速率

我们研究 Gibbs 测度（其密度正比于 $e^{-f(x)/t}$）当 $t \rightarrow 0$ 时的收敛速率，其中 $f : \mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{R}$ 在 $x^\star$ 处有唯一全局极小值。我们关注 Hessian 在 $x^\star$ 处非定的情形。我们转而假设该极小值是严格多项式的，并给出 $f$ 在 $x^\star$ 处依赖于每个坐标的高阶嵌套展开。我们给出一种算法，在 $x^\star$ 的多项式阶不超过 $8$ 时产生此类分解，这与希尔伯特第 $17^{\text{th}}$ 问题相关。然而，我们证明阶为 $10$ 或更高的情形有本质不同，且需要进一步的假设。随后我们利用该展开给出 Gibbs 测度的收敛速率。最后我们将结果推广到多阱情形。