含污染数据的密度估计：极小极大速率与自适应理论

本文研究污染模型设定下逐点损失下的密度估计。目标是在某 $x_0\in\mathbb{R}$ 处用i.i.d.观测 $X_1,\dots,X_n\sim (1-\epsilon)f+\epsilon g$ 估计 $f(x_0)$，其中 $g$ 表示污染分布。在多重检验语境中，这可解释为估计某点的零密度。我们通过以下模型指标仔细研究污染对估计的影响：污染比例 $\epsilon$、目标密度光滑度 $\beta_0$、污染密度光滑度 $\beta_1$，以及待估计点的污染水平 $m$，即 $g(x_0)\leq m$。结果表明，关于平方误差损失的极小极大速率为 $$[n^{-\frac{2\beta_0}{2\beta_0+1}}]\vee[\epsilon^2(1\wedge m)^2]\vee[n^{-\frac{2\beta_1}{2\beta_1+1}}\epsilon^{\frac{2}{2\beta_1+1}}],$$ 其刻画了污染对该问题难度的确切影响。我们随后建立对污染比例、光滑度及两者同时自适应的极小代价。表明三种情形中任一自适应都需支付些许代价。考虑Lepski方法的变体以实现最优自适应。当对污染分布无光滑度假设时亦研究该问题。此允许任意污染分布的设定被认定为Huber的 $\epsilon$-污染模型。极小极大速率显示为 $$[n^{-\frac{2\beta_0}{2\beta_0+1}}]\vee [\epsilon^{\frac{2\beta_0}{\beta_0+1}}].$$ 自适应理论亦不同于光滑污染情形。对污染比例或光滑度任一的自适应仅耗费对数因子，而对两者同时自适应被证明不可能。