全非线性抛物方程的可微非单调格式的收敛性

我们发展了全非线性抛物偏微分方程非单调逼近格式的收敛理论。现代计算方法如基于核的配点法、谱方法、物理信息神经网络和深度 Galerkin 方法通常是非单调的，因为它们产生光滑的近似解并直接从所选 ansatz 的梯度计算空间导数。因此，此类格式超出了经典 Barles 和 Souganidis 收敛理论的适用范围。我们引入了一个抽象框架，用两个逐点一致性条件——关于 PDE 残差和终端失配——代替严格单调性，这两个条件对于光滑逼近序列可直接验证。技术关键是非线性的极大极小表示，它将消失的经典残差转化为粘性下解和上解不等式，从而在抽象论证中免除了单调性要求。该框架在标准假设下给出定性收敛性，并针对无界空间域上的 Hamilton-Jacobi-Bellman 方程给出定量误差界，其中扩张截断柱体上的残差与来自值函数底层受控随机微分方程的指数衰减尾部项相平衡。作为具体实现，我们分析了使用 Wendland 径向基函数的基于核的配点法，并给出一维和二维空间中基准 Hamilton-Jacobi-Bellman 问题的数值实验，证实了所预测的收敛行为。