多块可分凸最小化中 ADMM 直接扩展的收敛性分析

近年来，交替方向乘子法（ADMM）在各个领域获得了许多高效的应用；并且已有研究表明，当将其直接扩展到目标函数中存在 $m\ge 3$ 个无耦合变量的可分凸最小化问题的多块情形时，无法保证其收敛性。这一事实极大地推动了人们去研究模型与算法参数上的各种条件，以确保 ADMM 直接扩展（缩写为“e-ADMM”）的收敛性。尽管在非常强的条件下（例如，至少 $(m-1)$ 个函数必须是强凸的）得到了一些适用于一般 $m$ 的通用情形的结果，另一些研究则集中在 $m=3$ 的特殊情形，在仅假设一个函数为强凸的相对温和条件下进行探讨。我们重点将收敛性分析从 $m=3$ 的情形扩展到更一般的 $m\ge3$ 情形。也就是说，我们证明了在仅假设 $(m-2)$ 个函数为强凸的条件下，$m\ge 3$ 情形下 e-ADMM 的收敛性；并建立了其在不同场景下的收敛速率，例如以迭代复杂度衡量的最坏情况收敛速率，以及在更强假设下的渐近线性收敛速率。从而证明了对于一般 $m\ge 4$ 情形 e-ADMM 的收敛性；尽管从已知的 $m=3$ 情形的结果来看这是直观的，但这一结果似乎仍是未知的。即使对于 $m=3$ 的特殊情形，我们的收敛结果也比专门针对 $m=3$ 情形推导的现有结果更为一般。