关于具有多块变量的 ADMM 的全局线性收敛性

交替方向乘子法（ADMM）已广泛用于求解结构化凸优化问题。特别是，ADMM 可以求解最小化由某些线性约束连接的 $N$ 个块变量的 $N$ 个凸函数之和的凸规划。虽然 $N=2$ 时 ADMM 的收敛性在文献中已得到充分确立，但 $N \ge 3$ 时 ADMM 是否仍然收敛长期以来一直是一个未决问题。最近，文献 [3] 表明，在没有进一步条件的情况下，$N\ge 3$ 的 ADMM 实际上可能无法收敛。在本文中，我们表明在一些易于验证且合理的条件下，当 $N\geq 3$ 时仍可保证 ADMM 的全局线性收敛，这一点至关重要，因为 ADMM 是求解大规模多块优化模型的流行方法，并且已知即使在 $N\ge 3$ 时在实践中也表现优异。我们的研究旨在为这一现象提供解释。