利用李对称构造可积广义行波模型及其解析解

在无任何边界条件、描述无界空间域中因变量时空演化的自治偏微分方程（PDE）的某些解，可刻画为以恒定速度移动的行波。在最简单情形下，此类 PDE 可化为含一个因变量的单个自治二阶常微分方程（ODE）。对于某些参数值，已通过摄动方法结合 ansätze 证明众多此类二阶 ODE 具有由简单 sigmoid 函数描述的解析行波解。然而，该方法在寻找拥有此类解析行波解的广义模型类问题上无能为力。寻找解析解与构造 ODE 类的最有效方法基于李对称，即所谓单参数 $\mathcal{C}^{\infty}$ 微分同胚的变换，将解映射为其他解。近来，借助二维李代数，已找到一类封装众多振荡模型及前述部分具简单解析解行波模型的二阶 ODE 的解析解。基于该李代数，我们构造了这些对称显见的最一般可积自治二阶 ODE 类。此外，我们证明该类二阶 ODE 的一个子类具有由 sigmoid 函数描述的简单解析行波解。最后，我们刻画了该李代数中两个对称在这些简单解析行波解上的作用，并将我们的 ODE 子类与先前已知的可积行波模型相联系。