对称性在微分方程贝叶斯解法中的作用
其他统计学
2019-09-24 v3 统计计算
统计方法学
摘要
将数值方法（如微分方程的差分方法）解释为点估计量，意味着在此背景下也可进行形式化的不确定性量化。可考虑竞争的统计范式，而当采用贝叶斯统计原理时，便得到贝叶斯概率数值方法（PNM）。贝叶斯 PNM 具有在复合下封闭的吸引性质，从而数值方法中不同离散化来源的不确定性可被联合建模并严格传播。尽管近期受到关注，尚无针对常微分方程（ODE）数值解的精确贝叶斯 PNM 被提出。这引发了一个基本问题：针对（一般非线性）ODE 的精确贝叶斯方法是否存在。本文旨在对一类有限 ODE 给出肯定回答。为此，我们在基础层面工作，提出一种新颖的贝叶斯 PNM 作为概念验证。我们的方案融合了经典 Lie 群方法（以利用梯度场中的潜在对称性）与 ODE 变换解空间中的非参数回归。该过程针对一阶与二阶 ODE 详述，并依赖于满足某一强技术性条件——可解 Lie 代数的存在。文中给出了数值示例。
引用
@article{arxiv.1906.10564,
title = {A Role for Symmetry in the Bayesian Solution of Differential Equations},
author = {Junyang Wang and Jon Cockayne and Chris J. Oates},
journal= {arXiv preprint arXiv:1906.10564},
year = {2019}
}
备注
A summary version of this manuscript appeared in the proceedings of MaxEnt 2018 in London, UK; see arXiv:1805.07109