构造具有极小边界、给定渐近性与受控质量的带电黎曼流形

2015 年，Mantoulidis 与 Schoen 构造了具有非负标量曲率的 $3$ 维渐近欧氏流形，其 ADM 质量可任意接近黎曼 Penrose 不等式的最优值，而最外层极小曲面的内蕴几何可“远离”球形。所得流形称为扩张，在几何上并不“接近”空间 Schwarzschild 流形。这表明黎曼 Penrose 不等式的不稳定性。其构造后来由 Cabrera Pacheco 与 Miao 推广到 $n+1$ 维。在 Alaee、Cabrera Pacheco 与 Cederbaum 以及 Cabrera Pacheco、Cederbaum 与 McCormick 最近的论文中，分别对渐近欧氏带电黎曼流形与渐近双曲黎曼流形进行了类似构造，得到了 $3$ 维扩张。本文将前述所有结果结合并推广，通过构造合适的 $n+1$ 维（$n\geq2$）带电能的渐近双曲或渐近欧氏扩张。我们详细研究了这些流形的亚极值性，考虑了带电能扩张中迄今未研究的极值情形，并允许我们扩张的度量具有更一般的条件。除了暗示一个自然猜想推广的黎曼 Penrose 不等式的不稳定性外，所构造的扩张还揭示了一种特设推广的 Bartnik 质量概念，类似于 Mantoulidis 与 Schoen 通过其扩张所证明的极小曲面的 Bartnik 质量估计，并统一了上述各种情形中的 Bartnik 质量估计。